카테고리 이론 : Epimorphism, Monomorphism

https://github.com/sudopark/category-theory-for-programmers-study/blob/main/Part1/2_Type_and_Fcuntions.md

GitHub - sudopark/category-theory-for-programmers-study: 프로그래머를 위한 카테고리 이론 스터디 😇

위 문서의 내용을 약간 보충합니다.

Injective

• 모든 공역과 치역의 원소가 1대1
• 공역과 치역이 꼭 같을 필요는 없음 (1대1 함수)

Surjective

공역과 치역이 같음 (codomain === range)

상(Image)은 공역의 subset이다, 함수는 정의역을 공역의 일부값으로 매핑한다. 

두 조건을 만족하면 Bijective(1대1 대응)임.

 

위 개념을 카테고리 이론으로

카테고리 이론에서 함수에 대해 이야기 하려면,

정의역과 치역을 구성하는 객체를 들여다 보지 말아야 합니다.

Epimorphism === Surjective (공역 === 치역)

합성할 함수가 먼저 실행되어 정의역을 제한합니다.

b->c인 함수는 정의역과 치역이 다를 수 있는데

a->b 함수인 f와의 합성 결과가 같으면 g1=g2라는 것입니다.

(합성함수의 정의역은 f의 치역으로 같아집니다.)

즉, g1 o f = g2 o f

Monomorphism === Injective (1대1 함수)

이번에는 함수가 뒤에 옵니다.

 

명제의 대우를 취해보면 좀 이해가 더 잘되는것 같은데요

g1과 g2가 다르면 합셩 결과도 같지 않다는 것입니다.

한줄 요약하면 f실행 후 1대1 함수가 되면 해당 모피즘은 Monomorphism이라 할 수 있겠습니다.

집합 이론에서 injective하고 subjective한 함수는 isomorphism 하다

Monomorphism & Epimorphism => Isomorphism? NO

객체2개와 모피즘 3개가 있는 카테고리가 있을때,

같은 카테고리 내에서 객체를 매핑하는 경우는 monic, epic할 수 있지만, iso하지 않다고 합니다.

카테고라에 중복의 개념이 존재할 수 있기 때문이고, 만약 집합의 카테고리라면 iso하다 볼 수 잏 수 있습니다.

https://math.stackexchange.com/questions/266886/epimorphism-and-monomorphism-isomorphism

Epimorphism and Monomorphism = Isomorphism?

참고 

https://www.mathsisfun.com/sets/injective-surjective-bijective.html

Injective, Surjective and Bijective

Category Theory 2.1: Functions, epimorphisms

Category Theory 2.2: Monomorphisms, simple types